RADICACION

RADICALES

Extracción

Para extraer términos de un radical tenemos que tener en cuenta que, solo pueden salir fuera del radical aquellos términos que el exponente sea igual o mayor que el índice de la raíz (tener en cuenta que los números enteros a veces se pueden factorizar y sacar del radical después de factorizarlos). Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.

Introducción

Como su nombre indica es el proceso inverso a la extracción y para ello basta MULTIPLICAR el exponente de cada factor de fuera de la raíz por el índice de la raíz y sumarle el exponente de los factores de dentro de la raíz si los hubiera.

Suma y resta de coeficientes del mismo radical

En todo radical hemos de tener en cuenta el número que va delante de la raíz que se llama como siempre COEFICIENTE, lo que hay despues del coeficiente se llama PARTE RADICAL y para sumar o restar basta sumar o restar los coeficientes y poner la misma parte radical (semejantes).

Multiplicación de radicales

Pasos a seguir:

1. Se multiplican los signos.

2. Se multiplican los coeficientes.

3. Se multiplica la parte radical.

Raíz de otra raíz

Pasos a seguir:

1. Se multiplican los índices.

2. Se introducen los radicales si es necesario.

3. Se factorizan los números.

4. Se extrae si se puede.

Multiplicación y división de radicales de diferente índice.

Pasos a seguir:

1. Se halla el m.c.m. de los índices y se pone el común.

2. Este índice se divide entre cada índice de la raíz y el resultado lo elevamos al radicando.

3. Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.

4. Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes.

5. Se extrae lo que se pueda del radical.

RACIONALIZAR

Consiste en hacer desaparecer la raíz de un denominador.

Racionalización de radicales con un solo radical en el denominador

Para quitar (racionalizar) radicales (uno solo) del denominador basta multiplicar numerador y denominador por denominador.

NOTA:

1) Cuando detrás de un número entero no hay ninguna raíz, es como si llevara raíz de 1.

2) Cuando delante de una raíz no hay ningún número, siempre está la unidad

3) Cuando un radical no tiene ningún número como índice, siempre será 2 aunque no se ponga.

Racionalización de denominadores con dos radicales

Pasos a seguir:

1. Se multiplica el numerador y el denominador por la CONJUGADA*.

2. El numerador se resuelve con una doble propiedad distributiva.

3. El denominador al hacer la conjugada siempre nos da el producto notable suma por diferencia o lo que es lo mismo el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

*La conjugada es el denominador con el segundo miembro cambiado de signo.

Ejercicios de aplicación.

Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

- Introducción de factores dentro del radical.

Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejercicios de aplicación.

Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él:

- Reducción de radicales al mínimo común índice.

Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.

Ejemplos:

1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.

2	3	6	2
(1)	-	3	3
	(1)	(1)		El m.c.m. es 6.

2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.

6	2		6	3		6	6
(0)	3		(0)	2		(0)	1

Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.

3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejercicios de aplicación.

Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:

- Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.

Ejemplos:

- Suma y resta de radicales.

Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.

Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son únicamente semejantes.

Ejercicios de aplicación.

Sumar los siguientes radicales indicados:

- Multiplicación de radicales.

a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Ejercicios de aplicación.

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

b) Para multiplicar radicales compuestos del mismo índice; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1 monomio o el producto de 2 polinomios.

Ejercicios de aplicación.

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

c) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicios de aplicación.

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

- División de radicales.

a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Ejercicios de aplicación.

Dividir los siguientes radicales indicados:

b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicios de aplicación.

Dividir los siguientes radicales indicados:

- Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador.

1^er Caso: cuando el radical del denominador es de 2^do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.

2^do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2^do grado, es decir radicales de 3^er,4^to, 5^to y más grado.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.

3^er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.

Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2^do término del 2^do binomio.

Ejercicios de aplicación.

Racionalizar el denominador (1^er Caso) de los siguientes cocientes:

Racionalizar el denominador (2^do Caso) de los siguientes cocientes:

Racionalizar el denominador (3^er Caso) de los siguientes cocientes:

" Ecuaciones con radicales.

Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de ecuación irracional.

Ejemplo:

Ejercicios de aplicación.

Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado: