tag:blogger.com,1999:blog-55074810461672465402024-03-19T05:49:47.030-07:00MATEMATICAS BASICASEste espacio es para evidenciar los avances en el desarrollo de las actividades de los estudiantes de la U.T.PJavier A. Cárdenashttp://www.blogger.com/profile/01644240010216759417noreply@blogger.comBlogger5125tag:blogger.com,1999:blog-5507481046167246540.post-20475582472939646492010-03-07T05:38:00.000-08:002011-02-01T17:11:00.171-08:00RADICACION<h1 align="center">RADICALES</h1> <h1>Extracción</h1> <p>Para extraer términos de un radical tenemos que tener en cuenta que, solo pueden salir fuera del radical aquellos términos que el exponente sea igual o mayor que el índice de la raíz (tener en cuenta que los números enteros a veces se pueden factorizar y sacar del radical después de factorizarlos). <b>Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.</b></p> <h1>Introducción</h1> <p>Como su nombre indica es el proceso inverso a la extracción y para ello basta <b>MULTIPLICAR el exponente de cada factor de fuera de la raíz por el índice de la raíz y sumarle el exponente de los factores de dentro de la raíz</b> si los hubiera.</p> <h1>Suma y resta de coeficientes del mismo radical</h1> <p>En todo radical hemos de tener en cuenta el número que va delante de la raíz que se llama como siempre COEFICIENTE, lo que hay despues del coeficiente se llama PARTE RADICAL y para sumar o restar basta <b>sumar o restar los coeficientes y poner la misma parte radical</b> (semejantes).</p> <h1>Multiplicación de radicales</h1> <p>Pasos a seguir:</p> <p>1. Se multiplican los signos.</p> <p>2. Se multiplican los coeficientes.</p> <p>3. Se multiplica la parte radical.</p> <h1>Raíz de otra raíz</h1> <p>Pasos a seguir:</p> <p>1. Se multiplican los índices.</p> <p>2. Se introducen los radicales si es necesario.</p> <p>3. Se factorizan los números.</p> <p>4. Se extrae si se puede.</p> <h1>Multiplicación y división de radicales de diferente índice.</h1> <p>Pasos a seguir:</p> <p>1. Se halla el m.c.m. de los índices y se pone el común.</p> <p>2. Este índice se divide entre cada índice de la raíz y el resultado lo elevamos al radicando.</p> <p>3. Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.</p> <p>4. Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes.</p> <p>5. Se extrae lo que se pueda del radical.</p> <h1>RACIONALIZAR</h1> <p>Consiste en hacer desaparecer la raíz de un denominador.</p> <h1>Racionalización de radicales con un solo radical en el denominador</h1> <p>Para quitar (racionalizar) radicales (uno solo) del denominador <b>basta multiplicar numerador y denominador por denominador.</b></p> <p>NOTA:</p> <p>1) Cuando detrás de un número entero no hay ninguna raíz, es como si llevara raíz de 1.</p> <p>2) Cuando delante de una raíz no hay ningún número, siempre está la unidad</p> <p>3) Cuando un radical no tiene ningún número como índice, siempre será 2 aunque no se ponga.</p> <h1>Racionalización de denominadores con dos radicales</h1> <p>Pasos a seguir:</p> <p>1. Se multiplica el numerador y el denominador por la CONJUGADA*.</p> <p>2. El numerador se resuelve con una doble propiedad distributiva.</p> <p>3. El denominador al hacer la conjugada siempre nos da el producto notable <span class="underline">suma por diferencia</span> o lo que es lo mismo el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.</p> <p>*La <b>conjugada</b> es el denominador con el segundo miembro cambiado de signo.</p><br /><h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales34.gif" alt="Operaciones con números reales" width="295" height="672" /></p> <p>- <i>Introducción de factores dentro del radical</i>.</p> <p>Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.</p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales35.gif" alt="Operaciones con números reales" width="314" height="390" /></p> <p>- <i>Reducción de radicales al mínimo común índice</i>.</p> <p>Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.</p> <p><i><span class="underline">Ejemplos</span></i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales36.gif" alt="Operaciones con números reales" width="108" height="23" /></p> <p>1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.</p> <table border="0" cellpadding="3" cellspacing="0"> <tbody><tr><td>2</td> <td>3</td> <td>6</td> <td class="left">2</td> <td rowspan="2"><br /></td></tr> <tr><td>(1)</td> <td>-</td> <td>3</td> <td class="left">3</td></tr> <tr><td><br /></td> <td>(1)</td> <td>(1)</td> <td class="left"><br /></td> <td>El m.c.m. es 6.</td></tr> </tbody></table> <p>2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.</p> <table width="70%" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"> <tbody><tr><td align="center">6</td> <td class="bottomleft">2</td> <td><br /></td> <td align="center">6</td> <td class="bottomleft">3</td> <td><br /></td> <td align="center">6</td> <td class="bottomleft">6</td></tr> <tr><td align="center">(0)</td> <td>3</td> <td><br /></td> <td align="center">(0)</td> <td>2</td> <td><br /></td> <td align="center">(0)</td> <td>1</td></tr> </tbody></table> <p>Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales37.gif" alt="Operaciones con números reales" width="389" height="26" /></p> <p>3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales38.gif" alt="Operaciones con números reales" width="386" height="23" /></p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales39.gif" alt="Operaciones con números reales" width="383" height="208" /></p> <p>- <i>Radicales semejantes</i>: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.</p> <p><i><span class="underline">Ejemplos</span></i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales40.gif" alt="Operaciones con números reales" width="182" height="39" /></p> <p>- <i>Suma y resta de radicales</i>.</p> <p>Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.</p> <p><b><i><span class="underline">Observación</span></i>:</b> Se recuerda que <b><i>solamente</i></b> se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son <b><i>únicamente</i></b> semejantes.</p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Sumar los siguientes radicales indicados</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales41.gif" alt="Operaciones con números reales" width="290" height="554" /></p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales42.gif" alt="Operaciones con números reales" width="299" height="288" /></p> <p>- <i>Multiplicación de radicales</i>.</p> <p>a) Para <i>multiplicar radicales</i> del <i>mismo índice</i>; se multiplican previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.</p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Multiplicar los siguientes radicales indicados</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales43.gif" alt="Operaciones con números reales" width="198" height="381" /></p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales66.gif" alt="Operaciones con números reales" width="306" height="373" /></p> <p>b) Para <i>multiplicar radicales compuestos</i> del <i>mismo índice</i>; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1 monomio o el producto de 2 polinomios.</p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Multiplicar los siguientes radicales indicados</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales44.gif" alt="Operaciones con números reales" width="235" height="438" /></p> <p>c) Para <i>multiplicar radicales compuestos</i> de <i>distinto índice;</i> primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.</p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Multiplicar los siguientes radicales indicados</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales46.gif" alt="Operaciones con números reales" width="178" height="338" /></p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales67.gif" alt="Operaciones con números reales" width="328" height="338" /></p> <p>- <i>División de radicales</i>.</p> <p>a) Para <i>dividir radicales</i> del <i>mismo índice</i>; se dividen previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.</p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Dividir los siguientes radicales indicados</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales47.gif" alt="Operaciones con números reales" width="372" height="260" /></p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales68.gif" alt="Operaciones con números reales" width="228" height="260" /></p> <p>b) Para <i>dividir radicales</i> de <i>distinto índice</i>; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.</p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Dividir los siguientes radicales indicados</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales48.gif" alt="Operaciones con números reales" width="224" height="500" /></p> <p>- <i>Racionalización</i>: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer <b><i>siempre</i></b> el <b><i>radical del denominador</i></b>.</p> <p><i><span class="underline">1<sup>er</sup> Caso</span></i>: cuando el radical del denominador es de 2<span class="underline"><sup>do</sup></span> grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.</p> <p><i><span class="underline">Ejemplos</span></i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales49.gif" alt="Operaciones con números reales" width="307" height="225" /></p> <p><b><i><span class="underline">Observación</span></i>:</b> Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.</p> <p><i><span class="underline">2<sup>do</sup> Caso</span></i>: cuando el radical del denominador es mayor al de 2<span class="underline"><sup>do</sup></span> grado, es decir radicales de 3<span class="underline"><sup>er</sup></span>,4<span class="underline"><sup>to</sup></span>, 5<span class="underline"><sup>to</sup></span> y más grado.</p> <p><i><span class="underline">Ejemplos</span></i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales50.gif" alt="Operaciones con números reales" width="279" height="329" /></p> <p><b><i><span class="underline">Observación</span></i>:</b> Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.</p> <p><i><span class="underline">3<sup>er</sup> Caso</span></i>: cuando el radical del denominador es un binomio.</p> <i><span class="underline">Ejemplos</span></i>: <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales51.gif" alt="Operaciones con números reales" width="331" height="294" /></p> <p><b><i><span class="underline">Observación</span></i>:</b> Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.</p> <p>Se llaman <i>cantidades conjugadas</i> a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2<span class="underline"><sup>do</sup></span> término del 2<span class="underline"><sup>do</sup></span> binomio.</p> <p><b><i><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span></i></b>.</p> <i><span class="underline">Racionalizar</span> el denominador (1<span class="underline"><sup>er</sup></span> Caso</i>) <i>de los siguientes cocientes</i>: <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales52.gif" alt="Operaciones con números reales" width="187" height="255" /></p> <p><i><span class="underline">Racionalizar</span> el denominador (2<span class="underline"><sup>do</sup></span> Caso) de los siguientes cocientes</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales53.gif" alt="Operaciones con números reales" width="213" height="394" /></p> <p><i><span class="underline">Racionalizar</span> el denominador (3<span class="underline"><sup>er</sup></span> Caso) de los siguientes cocientes</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales54.gif" alt="Operaciones con números reales" width="209" height="445" /></p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales45.gif" alt="Operaciones con números reales" width="242" height="445" /></p> <p>" <i>Ecuaciones con radicales</i>.</p> <p>Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el <b>valor</b> de <b>"x"</b> se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de <i>ecuación irracional</i>.</p> <p><i><span class="underline">Ejemplo</span></i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp2/numeros_reales55.gif" alt="Operaciones con números reales" width="267" height="183" /></p> <h3><span class="underline">Ejercicios de aplicación</span>.</h3> <p><i>Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado</i>:</p> <p><img src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp1/numeros_reales30.gif" alt="Operaciones con números reales" width="277" height="133" /></p><br /><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/CONFIG%7E1/Temp/moz-screenshot.jpg" alt="" /><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/CONFIG%7E1/Temp/moz-screenshot-1.jpg" alt="" />Javier A. Cárdenashttp://www.blogger.com/profile/01644240010216759417noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-5507481046167246540.post-86748497251820793402010-02-05T18:14:00.000-08:002011-02-01T17:10:50.168-08:00POTENCIACION<h2 align="center"><a name="POTENCIACIÓN">POTENCIACIÓN</a></h2> Para moverte como pez en el agua en este tema (además de ser muuuuy útil para todo en matemáticas) es importante que recuerdes las propiedades de la potenciación: <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber1" width="50%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="55%" bgcolor="#ffffcc"> <p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image031.gif" width="243" border="0" height="293" /></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> Los exponentes se utilizan en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra básica hasta variable compleja. Observa los siguientes ejemplos básicos. <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber2" width="40%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image035.gif" width="335" border="0" height="88" /></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p>En el anterior ejercicio sólo se reemplazó a 27 en términos de sus factores primos y luego se usaron las propiedades 2. y 4. de los exponentes. Compáralo con el siguiente ejercicio, observa la diferencia al usar la propiedad 4. y el desarrollo del ejercicio:</p> <br /><p align="center"><br /></p><br /><p align="center"><br /></p><p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image037.gif" width="235" border="0" height="269" /></p><p style="text-align: left;"><span class="headword">EJERCICIOS<br /></span></p><p style="text-align: left;"><span class="headword">1.</span> Exprese en potencia 2<sup>3</sup>x2<sup>5</sup></p><p><span class="headword">2.</span> Exprese en potencia (-3)<sup>5</sup>(-3)<sup>4</sup><br /></p><p><span class="headword">3.</span> Exprese en potencia (x<sup>5</sup>)<sup>3</sup><br /></p><p><span class="headword">4.</span> Al multiplicar potencias de igual base<br />A) Se restan los exponentes<br />B) Se suman los exponentes<br />C) Se multiplican los exponentes<br />D) Se dividen los exponentes<br /></p><p><span class="headword">5.</span> Al dividir potencias de igual base<br />A) Se dividen los exponentes<br />B) Se suman los exponentes<br />C) Se restan los exponentes<br />D) Se multiplican los exponentes<br /></p><p><span class="headword">6.</span> Al elevar una potencia a otra potencia<br />A) Se suman los exponentes<br />B) Se multiplican los exponentes<br />C) Se dividen los exponentes<br />D) Se restan los exponentes<br /></p><p><span class="headword">7.</span> Las raices cuadradas de 36 son<br />A) 36 y -36<br />B) 6<sup>2</sup> y 6<sup>-2</sup><br />C) -6<sup>2</sup> y 6<sup>2</sup><br />D) 6 y -6<br /></p><p><span class="headword">8.</span> Exprese en potencia (-4)<sup>8</sup>/(-4)<sup>5</sup><br /></p><span class="headword">9.</span> Exprese en potencia 2<sup>5</sup>x2<sup>3</sup>x3<sup>8</sup>x3<sup>2</sup>Javier A. Cárdenashttp://www.blogger.com/profile/01644240010216759417noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5507481046167246540.post-63797842014881338142010-02-05T17:44:00.000-08:002011-02-01T17:09:53.800-08:00OPERACIONES BASICAS<p class="MsoBodyText"><b><a name="SUMA Y RESTA DE REALES"> <span style="color: rgb(255, 255, 51);">SUMA Y RESTA DE REALES</span></a></b></p> <p class="MsoBodyText">Aquí te proponemos una forma <b>nemotécnica</b> sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo. </p> <p class="MsoBodyText">Ej: <b>3+5 = 8</b> esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera...</p> <p class="MsoBodyText"><b>-3-5 = -8</b>; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.</p> <p class="MsoBodyText">Ej: <b>5 – 3 = 2</b></p> <p class="MsoBodyText"><b> -5 + 3 = -2</b></p> <p class="MsoBodyText">En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. la regla dice que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo –2.</p> <p class="MsoBodyText">Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma nemotécnica para que aprendas a sumar y restar. </p> <p class="MsoBodyText">Mira estos otros ejemplos:</p> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center">-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3</p> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center">7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3</p> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center">-4-2-5-10= -21</p> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center">4+2+5+10= 21</p> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> -4+5-10-20+15-7+9</b></p> <p class="MsoBodyText">Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así:</p> <p class="MsoBodyText"><b>-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29</b></p> <p class="MsoBodyText">Y luego restar:</p> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b>-41+29 = -12</b></p> <p class="MsoBodyText">Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.</p> <p class="MsoBodyText"><b><a name="MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN"> <span style="color: rgb(255, 255, 51);">MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN</span></a></b></p> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" > Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y además saber que:</span></p> <table class="MsoNormalTable" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td valign="top" width="25"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">+</span></b></p></td> <td valign="top" width="27"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">x</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">+</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">=</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">+</span></b></p></td> </tr> <tr> <td valign="top" width="25"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">-</span></b></p></td> <td valign="top" width="27"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">x</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">-</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">=</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">+</span></b></p></td> </tr> <tr> <td valign="top" width="25"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">+</span></b></p></td> <td valign="top" width="27"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">x</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">-</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">=</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">-</span></b></p></td> </tr> <tr> <td valign="top" width="25"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;"> -</span></b></p></td> <td valign="top" width="27"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">x</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">+</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">=</span></b></p></td> <td valign="top" width="29"> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"><b> <span style="font-size:100%;">-</span></b></p></td> </tr> </tbody></table> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" >Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo.</span><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" > Ejemplo:</span></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber1" width="70%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="50%" align="center"><b>-5*-3 = 15</b> <p><b>-5*3 = -15</b></p></td> <td width="50%" align="center"><b>5*3 = 15</b> <p><b> 5*-3 = -15</b></p></td> </tr> <tr> <td width="50%" align="center"><br /></td> <td width="50%" align="center"><br /></td> </tr> <tr> <td width="50%" align="center"><b>15÷5 = 3</b> <p><b>-15÷5 = -3</b></p></td> <td width="50%" align="center"><b>15÷-5 = -3</b> <p><b>-15÷5 = -3</b></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText"><b><a name="OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS"> <span style="color: rgb(255, 255, 51);">OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS</span></a></b></p> <p class="MsoBodyText">La definición de fraccionario y toda la parte teórica te la dejamos a ti. Mira cómo se opera entre ellos</p> <p class="MsoBodyText"><span style="color: rgb(255, 255, 51);"><b>SUMA Y RESTA</b></span></p> <p class="MsoBodyText">Este tema lo podemos clasificar en dos:</p> <p class="MsoBodyText"><b>Suma y resta de homogéneos:</b></p> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" > Son las fracciones con igual denominador, son lás más fáciles de sumar, simplemente se suman los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:</span></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber2" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"> <p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image003.gif" border="0" /></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText"><b>Suma y resta de heterogéneos:</b></p> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" >Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común denominador, el cual es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores presentes. Mira estos ejemplos:</span></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber3" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image005.gif" border="0" /></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText">En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. Como común denominador también hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el múltiplo mínimo, en este caso 15.</p> <p class="MsoBodyText">Además nota que la operación es muy sencilla:</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador</p> <p class="MsoBodyText">15<span style="font-family:Symbol;">¸</span>3= 5 luego 5 * -2 =-10</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>Se repite la operación para cada uno de las fracciones</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>Se suman los resultados obtenidos y listo</p> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" > Veamos otro ejemplo:</span></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber4" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image002.gif" border="0" /></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText">Esta vez no se multiplicaron entre sí los denominadores porque no es necesario, 8 es múltiplo común tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que si tú escogieras por ejemplo 16, 24, 32 o cualquier otro múltiplo más grande estaría mal. ¡No! Sólo sería un múltiplo innecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los numeradores se crecerían igualmente. ¡Haz la prueba!.</p> <p class="MsoBodyText">Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a la reglita para hallar el mínimo común múltiplo. Ej:</p> <p class="MsoBodyText">Sumar:</p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber5" width="20%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image009.gif" border="0" /></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText">¿Cuál debe ser el común denominador?. Si lo logras obtener mentalmente...¡bravo!, si no, entonces mira este procedimiento:</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>Descompones los denominadores es sus factores primos</p> <p class="MsoBodyText">12=2*2*3</p> <p class="MsoBodyText">16=2*2*2*2</p> <p class="MsoBodyText">18=2*3*3</p> <p class="MsoBodyText"> <span style="font-family:Symbol;">·<span style="font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal;font-family:Times New Roman;font-size:7pt;" > </span></span>Luego halas el mínimo común múltiplo. ¿Cómo? Entonces: escoges todos los números que haya y los multiplicas con su mayor exponente</p> <p class="MsoBodyText">En el ejemplo: </p> <p class="MsoBodyText" style="text-align: center;" align="center"> 2<sup>4</sup>*3<sup>2</sup>=2*2*2*2*3*3=144</p> <p class="MsoBodyText">por lo tanto el común denominador será 144</p> <p class="MsoBodyText">Nótese que se escogió los mayores exponentes de la descomposición en factores primos, ¡<b>no se sumaron!.</b></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber6" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image013.gif" border="0" /></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText"><span style="color: rgb(255, 255, 51);"><b>MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS</b></span></p> <p class="MsoBodyText">Para este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicación de signos y en lo posible saber simplificar fraccionarios.</p> <p class="MsoBodyText">La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador</p> <p class="MsoBodyText">Así:</p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber7" width="25%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"> <p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image015.gif" border="0" /></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p>Ejemplo:</p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber8" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image017.gif" border="0" /></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText">¿Qué sucedió? Sucedió que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el 9 del denominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 del denominador. Además la expresión quedó negativa por la multiplicación de signos.</p> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" > Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre sí, al igual que los denominadores y luego simplificar, pero eso sería tonto porque de todos modos toca simplificar y terminaría dando 1 </span></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber9" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"> <p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image019.gif" border="0" /></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p>Ejemplo:</p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber10" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image021.gif" border="0" /></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p class="MsoBodyText">Para llegar al último resultado se simplificó, indaga cómo.</p> <p><b> <span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" > DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS</span></b></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber11" width="20%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"> <p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image023.gif" border="0" /></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p> se puede realizar de dos formas:</p> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" >- </span> <span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" >En cruz:</span></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber12" width="20%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"> <p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image025.gif" width="44" border="0" height="43" /></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p>Extremos / Medios: </p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber13" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"> <p align="center"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image027.gif" border="0" /></p></td> </tr> </tbody></table> </center> </div> <p><span style=";font-family:Times New Roman;font-size:12pt;" lang="EN-US" >Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro momento. Igualmente que en multiplicación de fracciones, cuando la división ya está expresada como una multiplicación puedes emplear la simplificación para facilitar tu labor. Ej. :</span></p> <div align="center"> <center> <table id="AutoNumber14" width="30%" border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <td width="100%" bgcolor="#ffffcc"><img src="http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matem_Basicas/image029.gif" border="0" /></td> </tr> </tbody></table><br /><div style="text-align: left;"><p><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">Ejercicios:</span></b> </p><p><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">A. Simplifique las siguientes Fracciones.</span></b><br /><br /> <table width="100%" cols="3"> <tbody><tr> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">1. <u>3</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 6</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">2. <u>15</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 45</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">3. <u>4</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 9</span></b></td> </tr> <tr> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">4. <u>2</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 8</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">5. <u>6</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 12</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">6. <u>12</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 48</span></b></td> </tr> </tbody></table> </p><p><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">B. Indique cuál fracción es mayor. ( Utiliza el signo de >, <)</span></b><br /><br /> <table width="100%" cols="2"> <tbody><tr> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">7. <u>6</u> <u>2</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 11 9</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">8. <u>4</u> <u>6</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 11 7</span></b></td> </tr> <tr> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">9. <u>4</u> <u>12</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 9 17</span></b></td> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">10. <u>4</u> <u>9</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 3 2</span></b></td> </tr> </tbody></table><br /><br /> </p><p><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">C Suma las siguientes fracciones.</span></b><br /><br /><br /> <table width="100%" cols="2"> <tbody><tr> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">11. <u>9</u> + <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 5 5</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">12. <u>2</u> + <u>5</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 3 3</span></b></td> </tr> <tr> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">13. <u>1</u> + <u>2</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 2 3</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">14. <u>5</u> + <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 6 5</span></b></td> </tr> <tr> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">1</span></b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><b>5. <u>3</u> + <u>1</u></b> </span><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 7 2</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">16. 1 <u>1</u> + 2 <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 8 4</span></b></td> </tr> <tr> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">1</span></b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><b>7. <u>9</u> + <u>5</u></b> </span><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 11 7</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">18. <u>3</u> + <u>4</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 2 3</span></b></td> </tr> </tbody></table><br /> </p><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">D. Resta las siguientes fracciones.</span></b><br /><br /> <table width="100%" cols="2"><tbody><tr> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">19. <u>6</u> - <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 7 7</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">20. <u>6</u> - <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 11 2</span></b></td> </tr> <tr> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">21. <u>4</u> - <u>5</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 3 2</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">22. <u>5</u> - <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 8 8</span></b></td> </tr> <tr> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">23. <u>9</u> - <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 11 5</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">24. 2 <u>1</u> - 1 <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 5 4</span></b></td> </tr> <tr> <td><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">25. <u> 3</u> - <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 4 2</span></b></td> <td><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;">26. <u>7</u> - <u>1</u></span></b><br /><b><span style="font-family:Arial,Helvetica;"> 9 3<br /></span></b></td></tr></tbody></table></div> </center> </div> <table id="AutoNumber15" style="color: rgb(17, 17, 17);" width="70%" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td width="33%"> <p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">Multiplica las siguientes fracciones.</span></span><br /> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">1) <u> 2 </u> · <u>1</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 3 2</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">2) <u>1</u> · <u>2</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 4 7</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">3) <u> 2</u> · <u> 6</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 3 20</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">4) <u>1</u> · <u>1</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 8 2</span></span><br /> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">5) -<u>1 </u> · <u>3</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 2 5</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">6) -<u>1</u> · -<u>1</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 3 3</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">7) <u> 1</u> · <u>3</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 9 8</span></span><br /> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">8) <u>2</u> · <u> 4</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 9 3</span></span><br /><br /><br /> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">Divide las siguientes fracciones:</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">1) <u>2</u> ÷ <u>1</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 9 3</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">2) <u> 1</u> ÷ -<u>2</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 5 5</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">3) <u> 2</u> ÷ <u> 3</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 9 7</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">4) <u>1</u> ÷ <u>1</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 9 4</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">5) <u>3</u> ÷ <u>1</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 2 6</span></span> </p><p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">6)<u> 1</u> ÷ <u>1</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 5 5</span></span></p><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;">7) <u>3</u> ÷ <u> 2</u></span></span><br /><span style="font-family:Arial,Helvetica;"><span style="font-size:1px;"> 7 7</span></span> </td> <td width="33%"><br /></td></tr></tbody></table><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dzAVEGwxV6Hcd5zyi6gvNB7jCA_Ad36HRdVn1l-DbcCdY_BTUzn5CwA073KjFKCaM5uWCal0Lo5WgvN9W_IqQ' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe>Javier A. Cárdenashttp://www.blogger.com/profile/01644240010216759417noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5507481046167246540.post-74376676304551855552010-02-03T17:52:00.000-08:002010-08-19T07:40:20.043-07:00NOTACIÓN DE INTERVALOS<h3></h3><p style="MARGIN-LEFT: 36pt" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"><?xml:namespace prefix = o /><o:p></o:p></span></p><p style="TEXT-ALIGN: left; MARGIN-LEFT: 36pt" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"><u><span style="COLOR: rgb(51,51,51)" lang="ES-MX">Definición:<o:p></o:p></span></u>
<br /></span></p><p style="TEXT-ALIGN: left; MARGIN-LEFT: 36pt" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;">Un <b><span style="color:navy;">intervalo </span></b>es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos: </span></p>
<br /><div style="TEXT-ALIGN: left"></div><p style="TEXT-ALIGN: left; MARGIN-LEFT: 54pt" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"><span style="font-size:0;">1.<span style="font-size:0;"> </span></span></span><span style="font-size:100%;"><b><span lang="ES-MX" style="color:navy;">Intervalo abierto</span></b></span><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"> (a, b) = {x/a <x><b><x><</x></b>b}.</x>
<br /><span style="font-size:0;">2.<span style="font-size:0;"> </span></span></span><span style="font-size:100%;"><b><span lang="ES-MX" style="color:navy;">Intervalo cerrado </span></b></span><span style="font-size:100%;">[a, b] = {x/a <?xml:namespace prefix = v /><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" ext="edit"><v:imagedata href="http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/menor.gif" src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif"><=x<=<v:imagedata href="http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/menor.gif" src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif">b}<u><span style="COLOR: rgb(51,51,51)" lang="ES-MX">
<br /></span></u></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 150%; TEXT-INDENT: 35.4pt" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"><u><span style="COLOR: rgb(51,51,51)" lang="ES-MX">Notación:<o:p></o:p></span></u>
<br />En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto y los de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado.</span></p><v:stroke joinstyle="miter"><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t"><v:shape id="_x0000_s1035" stroked="f" filled="f" type="#_x0000_t202"><v:imagedata href="http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/line03.gif" src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"><p style="TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 150%" class="MsoNormal"><v:imagedata href="http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/line04.gif" src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;">Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez.
<br />Por ejemplo: </span><span style="LINE-HEIGHT: 150%;font-size:100%;" lang="ES-MX" ><o:p></o:p></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 150%" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;">Si tenemos <b>(a, b]</b></span><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"> <o:p></o:p></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 150%" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;">Si tenemos <b>[a, b)</b></span><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"><o:p></o:p></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify; LINE-HEIGHT: 150%; MARGIN-LEFT: 36pt" class="MsoNormal"><v:shape id="_x0000_s1036" stroked="f" filled="f" type="#_x0000_t202"><v:imagedata href="http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/line02.gif" src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.png"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;">Cuando hablamos de<b><span style="color:navy;"> </span>infinito</b> nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que <i>a</i> y se representan con la notación de intervalo (a,oo<v:imagedata href="http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/infinito.gif" src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.gif">];[a,oo). El conjunto de todos los números reales menores que <i>a</i> se representan con la notación de intervalo (-oo,a<v:imagedata href="http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/infinito.gif" src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.gif">];[-oo, a).</span></p><span style="font-size:100%;">
<br /></span><p style="TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: 35.4pt" class="MsoNormal"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"><o:p></o:p></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: 35.4pt" class="MsoNormal"><v:shape id="_x0000_s1034" stroked="f" type="#_x0000_t202"><span lang="ES-MX" style="font-size:100%;"><o:p></o:p></span></p><u><span style="COLOR: rgb(51,51,51);font-size:18;" lang="ES-MX" ><span style="font-size:100%;">Notación de Intervalos y Notación de Conjuntos</span><o:p></o:p></span></u> <div align="center"><table style="BORDER-BOTTOM: 1.5pt outset; BORDER-LEFT: 1.5pt outset; MARGIN-LEFT: -18pt; BORDER-TOP: 1.5pt outset; BORDER-RIGHT: 1.5pt outset" class="MsoNormalTable" border="1" cellpadding="0"><tbody><tr style="HEIGHT: 32.85pt"><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; HEIGHT: 32.85pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">Desigualdad<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; HEIGHT: 32.85pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">Notación de Intervalo<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; HEIGHT: 32.85pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">Notación de Conjuntos<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">a</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> < <i>x</i> < <i>b</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">(<i>a</i>, <i>b</i>)<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x</i> Є <span style="font-size:0;">R</span> : <i>a</i> < <i>x</i> < <i>b</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">a</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> < <i>x</i> ≤ <i>b</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">(<i>a</i>, <i>b</i>]<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x</i> Є <span style="font-size:0;">R</span> : <i>a</i> < <i>x ≤</i><span style="font-size:0;"> </span><i>b</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">a</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> ≤ <i>x</i> < <i>b</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">[<i>a</i>, <i>b</i>)<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x Є</i> <span style="font-size:0;">R</span> : <i>a</i> ≤ <i>x</i> < <i>b</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">a</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> ≤ <i>x</i> ≤ <i>b</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">[<i>a</i>, <i>b</i>]<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x</i> Є <span style="font-size:0;">R</span> : <i>a</i> ≤ <i>x</i> ≤ <i>b</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">x</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> > <i>a</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">(<i>a</i>, ∞)<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x</i> Є <span style="font-size:0;">R</span> : <i>x</i> > <i>a</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">x</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> ≥ <i>a</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">[<i>a</i>, ∞)<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x</i> Є <span style="font-size:0;">R</span> : <i>x</i> ≥ <i>a</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">x</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> < <i>b</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">(-∞, <i>b</i>)<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x</i> Є <span style="font-size:0;">R</span> : <i>x</i> < <i>b</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr><tr><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 86.5pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="115"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><i><span lang="ES-MX">x</span></i></b><b><span lang="ES-MX"> ≤ <i>b</i><o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">(-∞, <i>b</i>]<o:p></o:p></span></b></p></td><td style="PADDING-BOTTOM: 3.75pt; PADDING-LEFT: 3.75pt; WIDTH: 135.55pt; PADDING-RIGHT: 3.75pt; PADDING-TOP: 3.75pt" width="181"><p style="TEXT-ALIGN: center" class="MsoNormal" align="center"><b><span lang="ES-MX">{<i>x</i> Є <span style="font-size:0;">R</span> : <i>x</i> ≤<i>b</i>}<o:p></o:p></span></b></p></td></tr></tbody></table></div><p style="TEXT-ALIGN: center; TEXT-INDENT: 35.4pt" class="MsoNormal" align="center"><span lang="ES-MX"><o:p></o:p></span></p><h3>
<br /></h3><h3>- Representa en la recta real los siguientes intervalos:</h3><p>1) ] -∞, 2 ] =</p><p><img alt="Desigualdades e Inecuaciones" src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/tp1/funciones16.gif" width="180" height="56" /></p><p>2) ] -7, 1 ] =</p><p>3) [ -3, 2 ] =</p><p>4) [ -3, 0 ] =</p><p>5) ] -2, 1 ] =</p><p>6) ] -2, 7/2 ] =</p><p>7) ] -2, 5 [ =</p><p>8) ] -1, 5 [ =</p><p>9) [ 0, 6 [ =</p><p>10) [ ¼, 4 ] =</p><p>11) ] 1, 6 [ =</p><p>12) [ 2, 8 ] =</p><p>13) [ 3, 7 ] =</p><p>14) ] 4, 9 ] =</p><p>15) ] 5, 7 ] =</p><p>16) [ 6, 10 ] =</p><h2>- Usando la notación de conjunto; escribir los siguientes intervalos que están representados en la recta real:</h2><p><img alt="Desigualdades e Inecuaciones" src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/tp1/funciones13.gif" width="362" height="375" /></p><p><img alt="Desigualdades e Inecuaciones" src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/tp1/funciones14.gif" width="243" height="657" /></p><h2>- Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están en lenguaje de conjunto:</h2><p>1) {x / - 4 ≤ x < ½; x <span style="font-family:Symbol;">Î</span> R} = <p>2) {x / - 4 ≤ x ≤ 7; x <span style="font-family:Symbol;">Î</span> R} =</p><p>3) {x / -2 ≤ x ≤ 2; x <span style="font-family:Symbol;">Î</span> R} =</p><p>4) {x / -2 ≤ x ≤ 4; x <span style="font-family:Symbol;">Î</span> R} =</p><p>5) {x / 2/5 ≤ x ≤ 3/2 ; x <span style="font-family:Symbol;">Î</span> R} =</p><p>6) {x / 3/5 ≤ x ≤ 7/2 ; x <span style="font-family:Symbol;">Î</span> R} =</p><h2>- Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están representados en la recta real:</h2><p><img alt="Desigualdades e Inecuaciones" src="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/tp1/funciones15.gif" width="326" height="950" /></p>
<br /></v:shape></v:imagedata></v:imagedata></v:imagedata></v:shape></v:imagedata></v:imagedata></v:shape></v:path></v:stroke></v:imagedata></v:imagedata></o:lock></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke>Javier A. Cárdenashttp://www.blogger.com/profile/01644240010216759417noreply@blogger.com17tag:blogger.com,1999:blog-5507481046167246540.post-70059543988057431022010-02-03T17:39:00.000-08:002010-02-03T18:45:34.758-08:00LA RECTA NUMÉRICA<h1 id="firstHeading" class="firstHeading">Recta numérica</h1><div style="text-align: justify;"><span style="color: rgb(0, 0, 0);">La </span><b style="color: rgb(0, 0, 0);">recta numérica</b><span style="color: rgb(0, 0, 0);">, inventada por </span><a style="color: rgb(0, 0, 0);" href="http://es.wikipedia.org/wiki/John_Wallis" title="John Wallis">John Wallis</a><span style="color: rgb(0, 0, 0);">, es un dibujo unidimensional de una línea en la que los </span><a style="color: rgb(0, 0, 0);" href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros" title="Números enteros" class="mw-redirect">números enteros</a><span style="color: rgb(0, 0, 0);"> son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada dirección. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la </span><a style="color: rgb(0, 0, 0);" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n" title="Adición" class="mw-redirect">adición</a><span style="color: rgb(0, 0, 0);"> y la </span><a style="color: rgb(0, 0, 0);" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sustracci%C3%B3n" title="Sustracción" class="mw-redirect">sustracción</a><span style="color: rgb(0, 0, 0);"> simples, implicando especialmente </span><a style="color: rgb(0, 0, 0);" href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo" title="Número negativo">números negativos</a>. </div><div style="text-align: justify;" class="center"> <div class="floatnone"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Number-line.gif" class="image" title="La recta numérica."><img style="width: 397px; height: 69px;" alt="La recta numérica." src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/09/Number-line.gif" /></a></div> </div><div style="text-align: justify;"> </div><p style="color: rgb(0, 0, 0); text-align: justify;">Está dividida en dos mitades simétricas por el <a style="color: rgb(0, 0, 0);" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadas" title="Origen de coordenadas">origen</a>, es decir el número <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cero" title="Cero">cero</a>. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.</p><p><b>Ejemplo</b> </p> <p> Represente en la recta numérica los siguientes números racionales: </p> <table border="0" width="100%"> <tbody><tr> <td height="52"> <ol type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img12.gif" alt="$\displaystyle \frac{3}{2}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /> </li></ol></td> <td><ol start="2" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img13.gif" alt="$\displaystyle \frac{7}{2}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /> </li></ol></td> <td><ol start="3" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img14.gif" alt="$\displaystyle \frac{-1}{2}$" align="middle" border="0" height="48" width="26" /> </li></ol></td> <td><ol start="4" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img15.gif" alt="$\displaystyle \frac{-5}{2}$" align="middle" border="0" height="48" width="26" /> </li></ol></td> </tr> </tbody></table> <p> Solución: </p> <br /><p align="center"> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/Recta2.gif" height="38" width="466" /></p><p><b>Ejercicio</b> </p> <p>1. Represente en un recta numérica los siguientes números racionales: </p> <table border="0" width="100%"><tbody><tr><td height="52"> <ol type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img20.gif" alt="$\displaystyle \frac{5}{2}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /></li></ol></td> <td><ol start="2" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img21.gif" alt="$\displaystyle \frac{7}{3}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /></li></ol></td> <td><ol start="3" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img22.gif" alt="$\displaystyle \frac{-9}{4}$" align="middle" border="0" height="48" width="26" /></li></ol></td> <td><ol start="4" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img23.gif" alt="$\displaystyle \frac{-14}{5}$" align="middle" border="0" height="48" width="34" /></li></ol></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"> </p><p> </p>2. Represente en una recta numérica los siguientes números racionales. <ol><li><ol type="a"><li><br /> <table border="0" width="80%"> <tbody><tr> <td height="52" width="25%"> <ol type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img32.gif" alt="$\displaystyle \frac{2}{3}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="2" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img33.gif" alt="$\displaystyle \frac{8}{5}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="3" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img15.gif" alt="$\displaystyle \frac{-5}{2}$" align="middle" border="0" height="48" width="26" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="4" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img34.gif" alt="$\displaystyle \frac{7}{4}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /></li></ol></td> </tr> </tbody></table> </li><li><br /> <table border="0" width="80%"> <tbody><tr> <td height="50" width="25%"> <ol type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img35.gif" alt="$\displaystyle \frac{9}{2}$" align="middle" border="0" height="48" width="14" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="2" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img36.gif" alt="$\displaystyle \frac{-11}{3}$" align="middle" border="0" height="48" width="34" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="3" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img37.gif" alt="$\displaystyle \frac{13}{5}$" align="middle" border="0" height="48" width="22" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="4" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img38.gif" alt="$\displaystyle \frac{-7}{4}$" align="middle" border="0" height="48" width="26" /></li></ol></td> </tr> </tbody></table> </li></ol> </li></ol>3. Utilice la calculadora para encontrar la expansión decimal de los siguientes números<br /> racionales y represéntelos en una recta numérica. <ol><br /><ol type="a"><li><br /> <table border="0" width="80%"> <tbody><tr> <td height="52" width="25%"> <ol type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img39.gif" alt="$\displaystyle \frac{13}{7}$" align="middle" border="0" height="48" width="22" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="2" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img40.gif" alt="$\displaystyle \frac{7}{15}$" align="middle" border="0" height="48" width="22" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="3" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img41.gif" alt="$\displaystyle \frac{-65}{21}$" align="middle" border="0" height="48" width="34" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="4" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img42.gif" alt="$\displaystyle \frac{-85}{13}$" align="middle" border="0" height="48" width="34" /></li></ol></td> </tr> </tbody></table> </li><br /><li><br /> <table border="0" width="80%"> <tbody><tr> <td height="52" width="25%"> <ol type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img43.gif" alt="$\displaystyle \frac{16}{9}$" align="middle" border="0" height="48" width="22" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="2" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img44.gif" alt="$\displaystyle \frac{77}{27}$" align="middle" border="0" height="48" width="22" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="3" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img45.gif" alt="$\displaystyle \frac{-40}{29}$" align="middle" border="0" height="48" width="34" /></li></ol></td> <td width="25%"><ol start="4" type="a"><li> <img src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/img46.gif" alt="$\displaystyle \frac{-134}{141}$" align="middle" border="0" height="48" width="42" /></li></ol></td></tr></tbody></table></li></ol></ol><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dyLYxvVTuOT0rdlfeZ6jZ9w0QBEC4i7qNEoe7LTe7JnR-yxkXZNphgMLTvSMOLdP-CpyYtR1IIEph3Fsj1JRg' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe>Javier A. Cárdenashttp://www.blogger.com/profile/01644240010216759417noreply@blogger.com0