RADICACION

RADICALES

Extracción

Para extraer términos de un radical tenemos que tener en cuenta que, solo pueden salir fuera del radical aquellos términos que el exponente sea igual o mayor que el índice de la raíz (tener en cuenta que los números enteros a veces se pueden factorizar y sacar del radical después de factorizarlos). Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.

Introducción

Como su nombre indica es el proceso inverso a la extracción y para ello basta MULTIPLICAR el exponente de cada factor de fuera de la raíz por el índice de la raíz y sumarle el exponente de los factores de dentro de la raíz si los hubiera.

Suma y resta de coeficientes del mismo radical

En todo radical hemos de tener en cuenta el número que va delante de la raíz que se llama como siempre COEFICIENTE, lo que hay despues del coeficiente se llama PARTE RADICAL y para sumar o restar basta sumar o restar los coeficientes y poner la misma parte radical (semejantes).

Multiplicación de radicales

Pasos a seguir:

1. Se multiplican los signos.

2. Se multiplican los coeficientes.

3. Se multiplica la parte radical.

Raíz de otra raíz

Pasos a seguir:

1. Se multiplican los índices.

2. Se introducen los radicales si es necesario.

3. Se factorizan los números.

4. Se extrae si se puede.

Multiplicación y división de radicales de diferente índice.

Pasos a seguir:

1. Se halla el m.c.m. de los índices y se pone el común.

2. Este índice se divide entre cada índice de la raíz y el resultado lo elevamos al radicando.

3. Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.

4. Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes.

5. Se extrae lo que se pueda del radical.

RACIONALIZAR

Consiste en hacer desaparecer la raíz de un denominador.

Racionalización de radicales con un solo radical en el denominador

Para quitar (racionalizar) radicales (uno solo) del denominador basta multiplicar numerador y denominador por denominador.

NOTA:

1) Cuando detrás de un número entero no hay ninguna raíz, es como si llevara raíz de 1.

2) Cuando delante de una raíz no hay ningún número, siempre está la unidad

3) Cuando un radical no tiene ningún número como índice, siempre será 2 aunque no se ponga.

Racionalización de denominadores con dos radicales

Pasos a seguir:

1. Se multiplica el numerador y el denominador por la CONJUGADA*.

2. El numerador se resuelve con una doble propiedad distributiva.

3. El denominador al hacer la conjugada siempre nos da el producto notable suma por diferencia o lo que es lo mismo el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

*La conjugada es el denominador con el segundo miembro cambiado de signo.

Ejercicios de aplicación.

Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

- Introducción de factores dentro del radical.

Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejercicios de aplicación.

Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él:

- Reducción de radicales al mínimo común índice.

Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.

Ejemplos:

1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.

2	3	6	2
(1)	-	3	3
	(1)	(1)		El m.c.m. es 6.

2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.

6	2		6	3		6	6
(0)	3		(0)	2		(0)	1

Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.

3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejercicios de aplicación.

Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:

- Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.

Ejemplos:

- Suma y resta de radicales.

Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.

Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son únicamente semejantes.

Ejercicios de aplicación.

Sumar los siguientes radicales indicados:

- Multiplicación de radicales.

a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Ejercicios de aplicación.

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

b) Para multiplicar radicales compuestos del mismo índice; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1 monomio o el producto de 2 polinomios.

Ejercicios de aplicación.

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

c) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicios de aplicación.

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

- División de radicales.

a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Ejercicios de aplicación.

Dividir los siguientes radicales indicados:

b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicios de aplicación.

Dividir los siguientes radicales indicados:

- Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador.

1^er Caso: cuando el radical del denominador es de 2^do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.

2^do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2^do grado, es decir radicales de 3^er,4^to, 5^to y más grado.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.

3^er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.

Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2^do término del 2^do binomio.

Ejercicios de aplicación.

Racionalizar el denominador (1^er Caso) de los siguientes cocientes:

Racionalizar el denominador (2^do Caso) de los siguientes cocientes:

Racionalizar el denominador (3^er Caso) de los siguientes cocientes:

" Ecuaciones con radicales.

Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de ecuación irracional.

Ejemplo:

Ejercicios de aplicación.

Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado:

POTENCIACION

POTENCIACIÓN

Para moverte como pez en el agua en este tema (además de ser muuuuy útil para todo en matemáticas) es importante que recuerdes las propiedades de la potenciación:

Los exponentes se utilizan en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra básica hasta variable compleja. Observa los siguientes ejemplos básicos.

En el anterior ejercicio sólo se reemplazó a 27 en términos de sus factores primos y luego se usaron las propiedades 2. y 4. de los exponentes. Compáralo con el siguiente ejercicio, observa la diferencia al usar la propiedad 4. y el desarrollo del ejercicio:

EJERCICIOS

1. Exprese en potencia 2³x2⁵

2. Exprese en potencia (-3)⁵(-3)⁴

3. Exprese en potencia (x⁵)³

4. Al multiplicar potencias de igual base
A) Se restan los exponentes
B) Se suman los exponentes
C) Se multiplican los exponentes
D) Se dividen los exponentes

5. Al dividir potencias de igual base
A) Se dividen los exponentes
B) Se suman los exponentes
C) Se restan los exponentes
D) Se multiplican los exponentes

6. Al elevar una potencia a otra potencia
A) Se suman los exponentes
B) Se multiplican los exponentes
C) Se dividen los exponentes
D) Se restan los exponentes

7. Las raices cuadradas de 36 son
A) 36 y -36
B) 6² y 6^-2
C) -6² y 6²
D) 6 y -6

8. Exprese en potencia (-4)⁸/(-4)⁵

9. Exprese en potencia 2⁵x2³x3⁸x3²

OPERACIONES BASICAS

SUMA Y RESTA DE REALES

Aquí te proponemos una forma nemotécnica sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:

· Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo.

Ej: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera...

-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.

· Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.

Ej: 5 – 3 = 2

-5 + 3 = -2

En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. la regla dice que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo –2.

Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma nemotécnica para que aprendas a sumar y restar.

Mira estos otros ejemplos:

-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3

7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3

-4-2-5-10= -21

4+2+5+10= 21

-4+5-10-20+15-7+9

Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así:

-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29

Y luego restar:

-41+29 = -12

Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y además saber que:

+	x	+	=	+
-	x	-	=	+
+	x	-	=	-
-	x	+	=	-

Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:

-5*-3 = 15 -5*3 = -15	5*3 = 15 5*-3 = -15
15÷5 = 3 -15÷5 = -3	15÷-5 = -3 -15÷5 = -3

OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS

La definición de fraccionario y toda la parte teórica te la dejamos a ti. Mira cómo se opera entre ellos

SUMA Y RESTA

Este tema lo podemos clasificar en dos:

Suma y resta de homogéneos:

Son las fracciones con igual denominador, son lás más fáciles de sumar, simplemente se suman los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:

Suma y resta de heterogéneos:

Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común denominador, el cual es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores presentes. Mira estos ejemplos:

En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. Como común denominador también hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el múltiplo mínimo, en este caso 15.

Además nota que la operación es muy sencilla:

· Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común

· se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador

15¸3= 5 luego 5 * -2 =-10

· Se repite la operación para cada uno de las fracciones

· Se suman los resultados obtenidos y listo

Veamos otro ejemplo:

Esta vez no se multiplicaron entre sí los denominadores porque no es necesario, 8 es múltiplo común tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que si tú escogieras por ejemplo 16, 24, 32 o cualquier otro múltiplo más grande estaría mal. ¡No! Sólo sería un múltiplo innecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los numeradores se crecerían igualmente. ¡Haz la prueba!.

Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a la reglita para hallar el mínimo común múltiplo. Ej:

Sumar:

¿Cuál debe ser el común denominador?. Si lo logras obtener mentalmente...¡bravo!, si no, entonces mira este procedimiento:

· Descompones los denominadores es sus factores primos

12=2*2*3

16=2*2*2*2

18=2*3*3

· Luego halas el mínimo común múltiplo. ¿Cómo? Entonces: escoges todos los números que haya y los multiplicas con su mayor exponente

En el ejemplo:

2⁴*3²=2*2*2*2*3*3=144

por lo tanto el común denominador será 144

Nótese que se escogió los mayores exponentes de la descomposición en factores primos, ¡no se sumaron!.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS

Para este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicación de signos y en lo posible saber simplificar fraccionarios.

La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador

Así:

Ejemplo:

¿Qué sucedió? Sucedió que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el 9 del denominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 del denominador. Además la expresión quedó negativa por la multiplicación de signos.

Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre sí, al igual que los denominadores y luego simplificar, pero eso sería tonto porque de todos modos toca simplificar y terminaría dando 1

Ejemplo:

Para llegar al último resultado se simplificó, indaga cómo.

DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS

se puede realizar de dos formas:

- En cruz:

Extremos / Medios:

Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro momento. Igualmente que en multiplicación de fracciones, cuando la división ya está expresada como una multiplicación puedes emplear la simplificación para facilitar tu labor. Ej. :

Ejercicios:

A. Simplifique las siguientes Fracciones.

1. 3 6	2. 15 45	3. 4 9
4. 2 8	5. 6 12	6. 12 48

B. Indique cuál fracción es mayor. ( Utiliza el signo de >, <)

7. 6 2 11 9	8. 4 6 11 7
9. 4 12 9 17	10. 4 9 3 2

C Suma las siguientes fracciones.

11. 9 + 1 5 5	12. 2 + 5 3 3
13. 1 + 2 2 3	14. 5 + 1 6 5
15. 3 + 1 7 2	16. 1 1 + 2 1 8 4
17. 9 + 5 11 7	18. 3 + 4 2 3

D. Resta las siguientes fracciones.

19. 6 - 1 7 7	20. 6 - 1 11 2
21. 4 - 5 3 2	22. 5 - 1 8 8
23. 9 - 1 11 5	24. 2 1 - 1 1 5 4
25. 3 - 1 4 2	26. 7 - 1 9 3

Multiplica las siguientes fracciones. 1) 2 · 1 3 2 2) 1 · 2 4 7 3) 2 · 6 3 20 4) 1 · 1 8 2 5) -1 · 3 2 5 6) -1 · -1 3 3 7) 1 · 3 9 8 8) 2 · 4 9 3 Divide las siguientes fracciones: 1) 2 ÷ 1 9 3 2) 1 ÷ -2 5 5 3) 2 ÷ 3 9 7 4) 1 ÷ 1 9 4 5) 3 ÷ 1 2 6 6) 1 ÷ 1 5 5 7) 3 ÷ 2 7 7

NOTACIÓN DE INTERVALOS

Definición:

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos:

1. Intervalo abierto (a, b) = {x/a <b}.
2. Intervalo cerrado [a, b] = {x/a <=x<=b}

Notación:
En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto y los de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado.

Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez.
Por ejemplo:

Si tenemos (a, b]

Si tenemos [a, b)

Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intervalo (a,oo];[a,oo). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intervalo (-oo,a];[-oo, a).

Notación de Intervalos y Notación de Conjuntos

Desigualdad	Notación de Intervalo	Notación de Conjuntos
a < x < b	(a, b)	{x Є R : a < x < b}
a < x ≤ b	(a, b]	{x Є R : a < x ≤ b}
a ≤ x < b	[a, b)	{x Є R : a ≤ x < b}
a ≤ x ≤ b	[a, b]	{x Є R : a ≤ x ≤ b}
x > a	(a, ∞)	{x Є R : x > a}
x ≥ a	[a, ∞)	{x Є R : x ≥ a}
x < b	(-∞, b)	{x Є R : x < b}
x ≤ b	(-∞, b]	{x Є R : x ≤b}

- Representa en la recta real los siguientes intervalos:

1) ] -∞, 2 ] =

2) ] -7, 1 ] =

3) [ -3, 2 ] =

4) [ -3, 0 ] =

5) ] -2, 1 ] =

6) ] -2, 7/2 ] =

7) ] -2, 5 [ =

8) ] -1, 5 [ =

9) [ 0, 6 [ =

10) [ ¼, 4 ] =

11) ] 1, 6 [ =

12) [ 2, 8 ] =

13) [ 3, 7 ] =

14) ] 4, 9 ] =

15) ] 5, 7 ] =

16) [ 6, 10 ] =

- Usando la notación de conjunto; escribir los siguientes intervalos que están representados en la recta real:

- Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están en lenguaje de conjunto:

1) {x / - 4 ≤ x < ½; x Î R} =

2) {x / - 4 ≤ x ≤ 7; x Î R} =

3) {x / -2 ≤ x ≤ 2; x Î R} =

4) {x / -2 ≤ x ≤ 4; x Î R} =

5) {x / 2/5 ≤ x ≤ 3/2 ; x Î R} =

6) {x / 3/5 ≤ x ≤ 7/2 ; x Î R} =

- Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están representados en la recta real:

LA RECTA NUMÉRICA

Recta numérica

La recta numérica, inventada por John Wallis, es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada dirección. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

Solución:

Ejercicio

1. Represente en un recta numérica los siguientes números racionales:

2. Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.

1. 1. 
      
   2. 
      

3. Utilice la calculadora para encontrar la expansión decimal de los siguientes números
racionales y represéntelos en una recta numérica.

1. 
   


2.